2020_2021学年人大附中高二下学期期末数学试卷选填部分解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）

1.下列函数中，最小正周期为π的是（    ）

A)y=1/2sinx   B)y=sin1/2x  C)y=cos(x+π/4)   D)y=1/2tanx

[答案]D

[解析]正弦和余弦函数的周期为T=2π/ω，选项A、B、C的最小正周期分别为2π、4π和2π。正切函数的最小正周期为π，故选D。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=39，则a3+a4=（   ）

A)31    B)12   C)13    D)52

[答案]C

[解析]根据等差数列的性质，

即a3+a4的值为13，故选C。

3.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为2/3和3/5，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（    ）

A)2/15    B)2/5   C)13/15    D)8/15

[答案]C

[解析] 设事件A为甲获得扶持资金，事件B为乙获得扶持资金。则甲、乙两户至少有一户获得扶持资金的概率为，

即值为13/15，故选C。

4.现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（    ）

A)4种    B)5种    C)6种    D)7种

[答案]C

[解析]按照第三坑所种树苗的种类，分为两类：甲种和非甲种。如图所示，共有4+2=6种种法。

5.设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤10⁴，x5=10⁵，随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1+x2/2，x2+x3/2，x3+x4/2，x4+x5/2，x5+x1/2的概率也均为0.2，若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则（    ）

A) D(ξ1)＞D(ξ2)    B) D(ξ1)＝D(ξ2)

C) D(ξ1)＜D(ξ2)   D) D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

[答案]A

[解析]随机变量ξ1的数学期望为，

随机变量ξ2的数学期望为，

即它们的数学期望相等，记为E(ξ)。于是，

随机变量ξ1的方差为，

其中

随机变量ξ2的方差为，

其中

于是，比较D(ξ1)与D(ξ2)的大小，转化为比较P和Q的大小。

根据均方均值不等式，其中a＞0，b＞0

当且仅当a=b时取等号。

因此有

对于10≤x1＜x2＜x3＜x4≤10⁴，x5=10⁵，则有

将上述各式相加，有

即Q＜P，从而D(ξ1)＞D(ξ2)，故选A。

6.若tanα=2，tan(α-β)=2，则tan(β-2α)=（   ）

A)12/5    B)-12/5   C)4/3    D)-4/3

[答案]C

[解析]根据两角差的正切公式有，

再根据诱导公式有

即值为4/3，故选C。

7.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)-f(x)ln2＞0，f(1)=4，则不等式

的解集为（    ）

A)[1,2]    B)[1,+∞)    C)(-∞,1]    D)(0,1]

[答案]B

[解析]构造函数g(x)，

对g′(x)求导得，

因此g(x)在R上单调递增。

则不等式

等价于

由函数g(x)的单调性可知，其解集为

即x∈[1,+∞)，故选B。

[别解]构造模特函数f(x)=4^x，则有

且f(1)=4，满足条件。于是不等式的解集为

即也有x∈[1,+∞)。

8.已知函数f(x)=cos2x，x∈[a,b]，则“b-a≥π/2”是“f(x)的值域为[-1,1]”的（    ）

A)充分而不必要条件    B)必要而不充分条件

C)充分必要条件        D)既不充分也不必要条件

[答案]B

[解析]根据三角函数f(x)=cos2x的图像可知，当“f(x)的值域为[-1,1]”时，即能取到最大值1和最小值-1，定义域的宽度一定大于T/2，即π/2。因此必要性成立。

但是“b-a≥π/2”时，例如a=-π/4，b=π/4，只能取到最大值1，取不到最小值-1。因此充分性不成立。

综上，“b-a≥π/2”是“f(x)的值域为[-1,1]”的必要而不充分条件，故选B。

9.根据预测，某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中

则该地第4个月底的共享单车的保有量为（    ）

A)421    B)451   C)439    D)935

[答案]D

[解析]由已知得，前4个月的投放量分别为，

因此，该地第4个月底的共享单车的保有量为，

即值为935，故选D。

10.若函数y1=x³-x²-1-a，（x∈[1/e,e]，e为自然对数的底数）与y2=x²-3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（   ）

A)(0,1/e³+2]       B)[0,e³-4]

C)(1/e³+2,e³-4]    D)(1/e³+2,+∞)

[答案]A

[解析]由于函数y1和y2的图象上存在关于x轴对称的点，所以y1+y2=0，即

构造函数f(x)，

其中x∈[1/e,e]。

这样的点有两个，等价于函数y=f(x)与y=a有两个交点。

对函数f(x)求导得，

由于x∈[1/e,e]，所以令f′(x)=0，解得x=1。

当x变化时，f(x)和f＇(x)变化情况如下：

函数f(x)在(1/e,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增。因此函数f(x)的最小值为f(1)

又由于，

所以f(1/e)＜f(e)，即函数f(x)的最大值为f(e)。

从而使得函数y=f(x)与y=a有两个解的a的取值范围为(0,1/e³+2]，故选A。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）

11.在(2-x)⁵的展开式中，x³的系数为_____________.（用数字作答）

[答案]-40

[解析]根据二项式定理的通项公式有，

由于r=3，所以其系数为，

即值为-40。

12.已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，a2=1/2，则an__________；S5=__________.

[答案]2^n-3,n∈N*；31/4

[解析]设数列{an}的首项为a1，公比为q，则有q=2，a2=1/2。因此，

通项公式为，

其中n∈N*。

前5项的和为，

13.已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%.从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为____________，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为___________.（精确到0.1%）.

[答案]0.83；67.5%

[解析]设事件A1为购买的电脑为甲品牌，事件A2为购买的电脑为乙品牌，事件B为购买的电脑为优质产品。则有

即事件A1、A2构成完备事件组。

根据全概率公式，事件B的概率为，

又根据贝叶斯公式，事件B发生时事件A的概率为，

14.若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为__________.

[答案]π/8

[解析]对函数f(x)进行化简有，

设将函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到的函数为g(x)，则有

由于y=cos2x为偶函数，其关于y轴对称，所以

或者

其中k∈Z。

又φ＞0，故常数φ的一个取值为π/8。

15.已知数列{an}满足不等式2an≤an-1+an+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{an}给出下列五个结论：

①a2-a1≤a3-a2；

②a2+a7≤a3+a6；

③a2+a3≥a6+a7；

④a5≥4a2-3a1；

⑤数列{an}的通项公式可以是an=nlnn.

以上结论正确的有___________.

[答案]①④⑤

[解析]根据已知，移项有

当n=2时有，

因此选项①正确。

当n=3、4、5、6时有，

将以上各式相加，得

因此选项②错误。

又定义相邻两项之间的差为dn，n≥2，

根据（*）式可知，

即dn单调递增，从而an单调递增。于是

因此选项③错误。

将所给表达式变形，有

以及

因此有，

还有

继续代入得，

因此选项④正确。

假设an的通项公式为an=nlnn，n∈N*。

考虑函数f(x)，

其中x∈N*。

对函数f(x)求导有，

因此f(x)在定义域内单调递增，即

将上述两式相减得，

满足题设关于数列{an}的性质，因此选项⑤正确。

综上，选项①④⑤正确，选项②③错误，故填入①④⑤。

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来源：全不知老师