2021新高考数学试卷(新课标Ⅰ)-普通用卷

2021新高考数学试卷（新课标Ⅰ）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（　　）

A. {2}              B. {2，3}              C. {3，4}              D. {2，3，4}

2.已知z=2-i，则z（+i）=（　　）

A. 6-2i              B. 4-2i              C. 6+2i              D. 4+2i

3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）

A. 2              B. 2              C. 4              D. 4

4.下列区间中，函数f（x）=7sin（x-）单调递增的区间是（　　）

A. （0，）              B. （，π）              C. （π，）              D. （，2π）

5.已知F₁，F₂是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF₁|•|MF₂|的最大值为（　　）

A. 13              B. 12              C. 9              D. 6

6.若tanθ=-2，则=（　　）

A. -              B. -              C.               D.

7.若过点（a，b）可以作曲线y=e^x的两条切线，则（　　）

A. e^b＜a              B. e^a＜b              C. 0＜a＜e^b              D. 0＜b＜e^a

8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）

A. 甲与丙相互独立              B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立              D. 丙与丁相互独立

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.有一组样本数据x₁，x₂，…，x_n，由这组数据得到新样本数据y₁，y₂，…，y_n，其中y_i=x_i+c（i=1，2，…，n），c为非零常数，则（　　）

A. 两组样本数据的样本平均数相同              B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同              D. 两组样本数据的样本极差相同

10.已知O为坐标原点，点P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，-sinβ），P₃（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（　　）

A. ||=||              B. ||=||
C. •=•              D. •=•

11.已知点P在圆（x-5）²+（y-5）²=16上，点A（4，0），B（0，2），则（　　）

A. 点P到直线AB的距离小于10              B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时，|PB|=3              D. 当∠PBA最大时，|PB|=3

12.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=1，点P满足=λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（　　）

A. 当λ=1时，△AB₁P的周长为定值
B. 当μ=1时，三棱锥P-A₁BC的体积为定值
C. 当λ=时，有且仅有一个点P，使得A₁P⊥BP
D. 当μ=时，有且仅有一个点P，使得A₁B⊥平面AB₁P

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数f（x）=x³（a•2^x-2^-x）是偶函数，则a= ______ .

14.已知O为坐标原点，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，则C的准线方程为______ .

15.函数f（x）=|2x-1|-2lnx的最小值为______ .

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S₁=240dm²，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S₂=180dm²，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______ ；如果对折n次，那么S_k= ______ dm².

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=
（1）记b_n=a_2n，写出b₁，b₂，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前20项和.

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b²=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点F₁（-，0），F₂（，0），点M满足|MF₁|-|MF₂|=2.记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|=|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.已知函数f（x）=x（1-lnx）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2＜+＜e.

答案和解析

1.【答案】B

【知识点】交集及其运算

【解析】解：∵A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，
∴A∩B={x|-2＜x＜4}∩{2，3，4，5}={2，3}．
故选：B．
直接利用交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
2.【答案】C

【知识点】复数的四则运算

【解析】解：∵z=2-i，
∴z（+i）=（2-i）（2+i+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2i²=6+2i．
故选：C．
把z=2-i代入z（+i），再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】B

【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征

【解析】解：由题意，设母线长为l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有，解得，
所以该圆锥的母线长为．
故选：B．
设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
4.【答案】A

【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质

【解析】解：令，k∈Z．
则，k∈Z．
当k=0时，k∈[，]，
（0，）⊆[，]，
故选：A．
本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
本题考查正弦函数单调性，是简单题．
5.【答案】C

【知识点】椭圆的性质及几何意义、基本不等式

【解析】解：F₁，F₂是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，|MF₁|+|MF₂|=6，
所以|MF₁|•|MF₂|≤=9，当且仅当|MF₁|=|MF₂|=3时，取等号，
所以|MF₁|•|MF₂|的最大值为9．
故选：C．
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
6.【答案】C

【知识点】二倍角公式及其应用、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系

【解析】解：由题意可得：
=
=
=．
故选：C．
由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．
本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题．
7.【答案】D

【知识点】函数与方程的综合应用、导数的几何意义

【解析】解：函数y=e^x是增函数，y′=e^x＞0恒成立，
函数的图象如图，y＞0，即取得坐标在x轴上方，
如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．
如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；
（a，b）在曲线上侧，没有切线；
由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜e^a．
故选：D．
画出函数的图象，判断（a，b）与函数的图象的位置关系，即可得到选项．
本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】B

【知识点】相互独立事件同时发生的概率

9.【答案】CD

【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差

【解析】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；
对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；
对于C，∵标准差D（y_i）=D（x_i+c）=D（x_i），
∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；
对于D，∵y_i=x_i+c（i=1，2，…，n），c为非零常数，
x的极差为x_max-x_min，y的极差为（x_max+c）-（x_min+c）=x_max-x_min，
∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．
故选：CD．
利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题．
10.【答案】AC

【知识点】向量的数量积

【解析】解：∵P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，-sinβ），P₃（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），
∴=（cosα，sinα），=（cosβ，-sinβ），
=（cos（α+β），sin（α+β）），=（1，0），
，，
则，，则||=||，故A正确；
==，
==，
||≠||，故B错误；
=1×cos（α+β）+0×sin（α+β）=cos（α+β），
=cosαcosβ-sinαsinβ=cos（α+β），
∴•=•，故C正确；
=1×cosα+0×sinα=cosα，
=cosβcos（α+β）-sinβsin（α+β）=cos[β+（α+β）]=cos（α+2β），
∴•≠•，故D错误．
故选：AC．
由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】ACD

【知识点】直线与圆的位置关系及判定

12.【答案】BD

【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积

【解析】解：对于A，当λ=1时，=+μ，即，所以，
故点P在线段CC₁上，此时△AB₁P的周长为AB₁+B₁P+AP，
当点P为CC₁的中点时，△AB₁P的周长为，
当点P在点C₁处时，△AB₁P的周长为，
故周长不为定值，故选项A错误；

对于B，当μ=1时，，即，所以，
故点P在线段B₁C₁上，
因为B₁C₁∥平面A₁BC，
所以直线B₁C₁上的点到平面A₁BC的距离相等，
又△A₁BC的面积为定值，
所以三棱锥P-A₁BC的体积为定值，故选项B正确；

对于C，当λ=时，取线段BC，B₁C₁的中点分别为M，M₁，连结M₁M，
因为，即，所以，
则点P在线段M₁M上，
当点P在M₁处时，A₁M₁⊥B₁C₁，A₁M₁⊥B₁B，
又B₁C₁∩B₁B=B₁，所以A₁M₁⊥平面BB₁C₁C，
又BM₁⊂平面BB₁C₁C，所以A₁M₁⊥BM₁，即A₁P⊥BP，
同理，当点P在M处，A₁P⊥BP，故选项C错误；

对于D，当μ=时，取CC₁的中点D₁，BB₁的中点D，
因为，即，所以，
则点P在线的DD₁上，
当点P在点D₁处时，取AC的中点E，连结A₁E，BE，
因为BE⊥平面ACC₁A₁，又AD₁⊂平面ACC₁A₁，所以AD₁⊥BE，
在正方形ACC₁A₁中，AD₁⊥A₁E，
又BE∩A₁E=E，BE，A₁E⊂平面A₁BE，
故AD₁⊥平面A₁BE，又A₁B⊂平面A₁BE，所以A₁B⊥AD₁，
在正方体形ABB₁A₁中，A₁B⊥AB₁，
又AD₁∩AB₁=A，AD₁，AB₁⊂平面AB₁D₁，所以A₁B⊥平面AB₁D₁，
因为过定点A与定直线A₁B垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点P，使得A₁B⊥平面AB₁P，故选项D正确．

故选：BD．
判断当λ=1时，点P在线段CC₁上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当μ=1时，点P在线段B₁C₁上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当λ=时，取线段BC，B₁C₁的中点分别为M，M₁，连结M₁M，则点P在线段M₁M上，分别取点P在M₁，M处，得到均满足A₁P⊥BP，即可判断选项C；当μ=时，取CC₁的中点D₁，BB₁的中点D，则点P在线的DD₁上，证明当点P在点D₁处时，A₁B⊥平面AB₁D₁，利用过定点A与定直线A₁B垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D．
本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．
13.【答案】1

【知识点】函数的奇偶性

【解析】解：函数f（x）=x³（a•2^x-2^-x）是偶函数，
y=x³为R上的奇函数，
故y=a•2^x-2^-x也为R上的奇函数，
所以y|_x=0=a•2⁰-2⁰=a-1=0，
所以a=1．
故答案为：1．
利用奇函数的定义即可求解a的值．
本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】x=-

【知识点】抛物线的性质及几何意义

【解析】解：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），k_OP=2，PQ⊥OP．
所以k_PQ=-，所以PQ的方程为：y-p=-（x-），
y=0时，x=，
|FQ|=6，所以，解得p=3，
所以抛物线的准线方程为：x=-．
故答案为：x=-．
求出点P的坐标，推出PQ方程，然后求解Q的坐标，利用|FQ|=6，求解p，然后求解准线方程．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
15.【答案】1

【知识点】函数的最值

【解析】解：函数f（x）=|2x-1|-2lnx的定义域为（0，+∞）．
当0＜x时，f（x）=|2x-1|-2lnx=-2x+1-2lnx，
此时函数f（x）在（0，]上为减函数，
所以f（x）≥f（）=-2×+1-2ln=2ln2；
当x＞时，f（x）=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，
则f′（x）==，
当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=1时f（x）取得最小值为f（1）=2×1-1-2ln1=1．
∵2ln2=ln4＞lne=1，
∴函数f（x）=|2x-1|-2lnx的最小值为1．
故答案为：1．
求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0＜x时，直接利用单调性求最值；当x＞时，利用导数求最值，进一步得到f（x）的最小值．
本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】5 

【知识点】数列求和方法

【解析】解：易知有，，共5种规格；
由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故，
则，记，则，
∴=，
∴，
∴．
故答案为：5；．
依题意，对折k次共有k+1种规格，且面积为，则，，然后再转化求解即可．
本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．
17.【答案】解：（1）因为a₁=1，a_n+1=，
所以a₂=a₁+1=2，a₃=a₂+2=4，a₄=a₃+1=5，
所以b₁=a₂=2，b₂=a₄=5，
b_n-b_n-1=a_2n-a_2n-2=a_2n-a_2n-1+a_2n-1-a_2n-2=1+2=3，
所以数列{b_n}是以b₁=2为首项，以3为公差的等差数列，
所以b_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）由（1）可得a_2n=3n-1，n∈N*，
则a_2n-1=a_2n-2+2=3（n-1）-1+2=3n-2，n≥2，
当n=1时，a₁=1也适合上式，
所以a_2n-1=3n-2，n∈N*，
所以数列{a_n}的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则{a_n}的前20项和为a₁+a₂+...+a₂₀=（a₁+a₃+…+a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₂₀）=10+×3+10×2+×3=300．

【知识点】数列的递推关系、数列求和方法

【解析】（1）由数列{a_n}的通项公式可求得a₂，a₄，从而可得求得b₁，b₂，由b_n-b_n-1=3可得数列{b_n}是等差数列，从而可求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由数列{a_n}的通项公式可得数列{a_n}的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
则P（X=0）=1-0.8=0.2，
P（X=20）=0.8×（1-0.6）=0.32
P（X=100）=0.8×0.6=0.48，
所以X的分布列为：

（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P（Y=0）=1-0.6=0.4，
P（Y=80）=0.6×（1-0.8）=0.12，
P（Y=100）=0.6×0.8=0.48，
则Y的期望为E（Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，
因为E（Y）＞E（X），
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．

【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列

【解析】（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
（2）由（1）可得E（X），若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E（Y），比较E（X）与E（Y）的大小，即可得出结论．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）证明：由正弦定理知，，
∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，
∵b²=ac，
∴b•2Rsin∠ABC=a•2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC=asinC，
∵BDsin∠ABC=asinC．
∴BD=b；
（2）由（1）知BD=b，
∵AD=2DC，
∴AD=，DC=，
在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA===，
在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC===，
∵∠BDA+∠BDC=π，
∴cos∠BDA+cos∠BDC=0，
即=0，
得11b²=3c²+6a²，
∵b²=ac，
∴3c²-11ac+6a²=0，
∴c=3a或c=，
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC==，
当c=3a时，cos∠ABC=＞1（舍）；
当c=时，cos∠ABC=；
综上所述，cos∠ABC=．

【知识点】余弦定理、正弦定理

【解析】（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．
本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．
20.【答案】解：（1）证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面BCD，
所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，
所以AO⊥CD；
（2）取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，
过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，
所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则B（0，-1，0），，D（0，1，0），
设A（0，0，t），则，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，
设平面BCE的法向量为，
又，
所以由，得，
令x=，则y=-1，，故，
因为二面角E-BC-D的大小为45°，
所以，
解得t=1，所以OA=1，
又，所以，
故=．

【知识点】线面垂直的判定、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角

【解析】（1）利用等腰三角形中线就是高，得到AO⊥BD，然后利用面面垂直的性质，得到AO⊥平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明AO⊥CD；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设A（0，0，t），利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．
本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，
根据题意，解得，
∴C的方程为；
（2）设，直线AB的参数方程为，
将其代入C的方程并整理可得，（16cos²θ-sin²θ）t²+（16cosθ-2msinθ）t-（m²+12）=0，
由参数的几何意义可知，|TA|=t₁，|TB|=t₂，则，
设直线PQ的参数方程为，|TP|=λ₁，|TQ|=λ₂，同理可得，，
依题意，，则cos²θ=cos²β，
又θ≠β，故cosθ=-cosβ，则cosθ+cosβ=0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．

【知识点】直线与双曲线的位置关系

【解析】（1）M的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得C的方程；
（2）设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得|TA|•|TB|，同理求得|TP|•|TQ|，再根据|TA|•|TB|=|TP|•|TQ|，即可得出答案．
本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】（1）解：由函数的解析式可得f'（x）=1−lnx−1=−lnx，
∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
则f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（2）证明：由blna−alnb=a−b，得，
即，
由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
所以f（x）_max=f（1）=1，且f（e）=0，
令，，
则x₁，x₂为f（x）=k 的两根，其中k∈（0，1）．
不妨令x₁∈（0，1），x₂∈（1，e），则2−x₁＞1，
先证2＜x₁+x₂，即证x₂＞2−x₁，即证f（x₂）=f（x₁）＜f（2-x₁），
令h（x）=f（x）−f（2−x），
则h′（x）=f′（x）+f′（2−x）=−lnx−ln（2−x）=−ln[x（2−x）]在（0，1）单调递减，
所以h′（x）＞h′（1）=0，
故函数h（x）在（0，1）单调递增，
∴h（x₁）＜h（1）=0．∴f（x₁）＜f（2-x₁），∴2＜x₁+x₂，得证．
同理，要证x₁+x₂＜e，即证1＜x₂＜e-x₁，
根据（1）中f（x）单调性，
即证f（x₂）=f（x₁）＞f（e-x₁），
令φ（x）=f（x）−f（e−x），x∈（0，1），
则φ'（x）=−ln[x（e−x）]，令φ′（x₀）=0，
x∈（0，x₀），φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，
x∈（x₀，1），φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，
又x＞0，f（x）＞0，且f（e）=0，
故x→0，φ（0）＞0，
φ（1）=f（1）−f（e−1）＞0，
∴φ（x）＞0恒成立，
x₁+x₂＜e得证，
则2＜+＜e．

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】（1）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，
（2）利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．

来源：电教狗